1
Oändligheter
Postat av tufflax den 28 Januari 2010, 00:50
11 kommentarer · 208 träffar
Tråden (numer trådarna) om att 0.999... = 1 motiverade mig till att skapa denna tråd, speciellt alla de som däri säger "vi kan inte förstå oändligheter".
Jag ska ta lite fler exempel på lite underliga situationer som kan uppstå i samband med oändlighet och visa hur bra matematiker faktiskt förstår sig på oändlighet.
0.999... = 1 är ett bra, fast ganska trivialt (dvs. lätt) exempel.
Ett annat är detta: Låt oss kalla mängden av alla tal < 1 för A. A har då inget största värde. Om du påstår att du vet vilket det största värdet är, så kan jag alltid säga ett tal i mängden som är större. Detta mynnar förstås ut i att 0.999... = 1.
Ett annat exempel: Låt oss säga att du har två mängder enligt följande. Z = {...-2, -1, 0, 1, 2...} dvs alla heltal. Sedan har du N = {0, 1, 2, 3...} dvs alla heltal som inte är negativa (även kallade de naturliga talen). De två mängderna har lika många element (tal i sig). Det kan vid en första anblick se ut som att Z har oändligt många fler tal, eftersom Z också innehåller alla negativa tal, vilka är oändligt många. Hur kan jag så säga att de har lika många element? Jo, det går att para ihop alla tal från N med precis ett tal ifrån Z, så att alla tal används ifrån de båda mängderna. Ett exempel på hur man gör det är såhär:
Från N: 0 1 2 3 4 5 6 7...
Från Z: 0 -1 1 -2 2 -3 3 -4...
Som ni ser paras alla tal från N ihop med ett tal var från Z, och alla tal används. De måste alltså vara lika många.
Man kan på ett liknande sätt visa att mängden Q av alla rationella tal (tal som går att skrivas som ett bråk av heltal) är lika många som talen i N. Det är kanske lite förvånande eftersom det mellan varje två på varandra följande tal i N, tex 1 och 2 finnns oändligt många tal ifrån Q. Ändå har Q och N lika många element.
Om man tänker på det så kanske det inte låter så konstigt egentligen. Man kanske tänker att om en mängd är oändligt stor och en annan mängd också är oändligt stor så är de lika stora. Men så enkelt är det inte. Det finns nämligen mängder med fler element än vad det finns i Z, N och Q.
Ett exempel på en sådan mängd är R, mängden av alla reella tal. Det är omöjligt att para ihop varje tal från N med ett tal ifrån R och få med alla tal i R. Slutsatsen blir att R har fler element än N. R är således en större oändlighet.
Man kan gå vidare i en oändligt lång kedja av större oändligheter. Detta är såklart bevisat, och alla matematiker vet detta, och förstår bevisen.
Oändlighet är också ett centralt begrepp när man räknar med derivator och integraler, och om man inte förstod sig på oändligheter eller inte kunde räkna med dem så skulle det inte finnas något som hette derivator eller integraler.
Som ni ser så har matematiker en ganska god förståelse för oändligheter. Så när nån på fragbite som just har läst Matte B kommer och säger "vi kan inte förstå oändligheter" så låter det ganska dumt.
Jag ska ta lite fler exempel på lite underliga situationer som kan uppstå i samband med oändlighet och visa hur bra matematiker faktiskt förstår sig på oändlighet.
0.999... = 1 är ett bra, fast ganska trivialt (dvs. lätt) exempel.
Ett annat är detta: Låt oss kalla mängden av alla tal < 1 för A. A har då inget största värde. Om du påstår att du vet vilket det största värdet är, så kan jag alltid säga ett tal i mängden som är större. Detta mynnar förstås ut i att 0.999... = 1.
Ett annat exempel: Låt oss säga att du har två mängder enligt följande. Z = {...-2, -1, 0, 1, 2...} dvs alla heltal. Sedan har du N = {0, 1, 2, 3...} dvs alla heltal som inte är negativa (även kallade de naturliga talen). De två mängderna har lika många element (tal i sig). Det kan vid en första anblick se ut som att Z har oändligt många fler tal, eftersom Z också innehåller alla negativa tal, vilka är oändligt många. Hur kan jag så säga att de har lika många element? Jo, det går att para ihop alla tal från N med precis ett tal ifrån Z, så att alla tal används ifrån de båda mängderna. Ett exempel på hur man gör det är såhär:
Från N: 0 1 2 3 4 5 6 7...
Från Z: 0 -1 1 -2 2 -3 3 -4...
Som ni ser paras alla tal från N ihop med ett tal var från Z, och alla tal används. De måste alltså vara lika många.
Man kan på ett liknande sätt visa att mängden Q av alla rationella tal (tal som går att skrivas som ett bråk av heltal) är lika många som talen i N. Det är kanske lite förvånande eftersom det mellan varje två på varandra följande tal i N, tex 1 och 2 finnns oändligt många tal ifrån Q. Ändå har Q och N lika många element.
Om man tänker på det så kanske det inte låter så konstigt egentligen. Man kanske tänker att om en mängd är oändligt stor och en annan mängd också är oändligt stor så är de lika stora. Men så enkelt är det inte. Det finns nämligen mängder med fler element än vad det finns i Z, N och Q.
Ett exempel på en sådan mängd är R, mängden av alla reella tal. Det är omöjligt att para ihop varje tal från N med ett tal ifrån R och få med alla tal i R. Slutsatsen blir att R har fler element än N. R är således en större oändlighet.
Man kan gå vidare i en oändligt lång kedja av större oändligheter. Detta är såklart bevisat, och alla matematiker vet detta, och förstår bevisen.
Oändlighet är också ett centralt begrepp när man räknar med derivator och integraler, och om man inte förstod sig på oändligheter eller inte kunde räkna med dem så skulle det inte finnas något som hette derivator eller integraler.
Som ni ser så har matematiker en ganska god förståelse för oändligheter. Så när nån på fragbite som just har läst Matte B kommer och säger "vi kan inte förstå oändligheter" så låter det ganska dumt.
