Nu var det alltså min tur att söka hjälp angående en viss typ av mattetal. Jag håller för närvarande på med MaB (engelska) och har prov på torsdag. För tillfället har jag ett par frågetecken som behöver rätas ut, om ni bestämmer er för att svara på någon av uppgifterna: se till att ni skriver ordentligt vad ni gör, annars är det bara onödigt. Svaren finns redan i facit.


Uppg. 1: "a piece of wire of length 44 cm is cut into two parts. Each part is bent to form the four sides of a square.

a) If the length of a side of one square is x cm, what is the length of the side in the other square?

b) The sum of the areas is 65 cm^2. Find x."


Svar: 1. a) blir

(44 - 4x) / 4, vilket ger

11 - x.

Den totala längden av linan minus omkretsen av kvadraten vars sida är x ger omkretsen av den andra kvadraten. För att reda på en av sidorna i den kvadraten delar man omkretsen på fyra.


1. b) med hjälp av föregående svar får vi fram att

x^2 + (11 - x)^2 = 65, vilket vi gör om på följande sätt:

x^2 + 121 - 11x - 11x + x^2 = 65

2x^2 - 22x + 121 = 65

2x^2 - 22x + 56 = 0

x^2 - 11x + 28 = 0


Därifrån kan vi använda PQ-formeln:

P = -11, Q = 28

x = -(P/2) ±√((P/2)^2 - Q)

x = -(-11/2) ±√((-11/2)^2 - 28)

x = 5.5 ±√((121/4) - 28)

x = 5.5 ±√(30.25 - 28)

x = 5.5 ±√(2.25)

x = 5.5 ± 1.5

x1 = 7

x2 = 4


x kan alltså vara antingen 4 eller 7.



Uppg. 2: "Two consecutive positive even numbers are squared and added together. The sum is 340. Find the two numbers."


Svar: uttrycket för detta blir:

(2x)^2 + (2(x+1))^2 = 340, vilket vi sedan kan skriva om till

4x^2 + (2x + 2)^2 = 340

4x^2 + 4x^2 + 4x + 4x + 4 = 340

8x^2 + 8x + 4 = 340

8x^2 + 8x - 336 = 0

x^2 + x - 42 = 0


Därefter kan vi applicera PQ-formeln och av det får vi ut:

P = 1, Q = -42

x = -(P/2) ±√((P/2)^2 - Q)

x = -0.5 ±√((1/2)^2 - (-42))

x = -0.5 ±√(0.25 + 42)

x = -0.5 ±√(42.25)

x = -0.5 ± 6.5

x1 = 6

x2 = -7


Sedan lägger vi in de två värdena av x i formeln för de två talen, dvs. 2x och 2(x +1). Detta ser ut på följande vis:

x = 6

2x = 2 * 6 = 12

2(x + 1) = 2(6 + 1) = 2 * 7 = 14


eller


x = -7

2x = 2 * -7 = -14

2(x + 1) = 2(-7 + 1) = 2 * 6 = -12


Eftersom det skulle vara två positiva tal i följd är det bara den övre uträkningen som stämmer. Svaret är alltså 12 och 14.



Uppg. 3: "A small garden has a square lawn with sides of length x metres. There is a path 1 m wide all the way around the lawn. If the area of the lawn is 3/5 of the total area, what is x?"


Svar: uttryckt i siffror ser det ut på detta vis:

x^2 / ((x + 2)^2) = 3 / 5, därifrån kan vi få

x^2 / (x^2 + 4x + 4) = 3 / 5

5x^2 = 3(x^2 + 4x + 4)

5x^2 = 3X^2 + 12x + 12

3x^2 + 12x + 12 = 5x^2

-2x^2 + 12x + 12 = 0


Enligt abc-formeln lyder följande:

Om ax^2 + bx + c = 0

Då är x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/2a


Applicerad på vår ekvation ser den ut såhär:

a = -2, b = 12, c = 12

x = (-12 ±√(12^2 - 4 * -2 * 12)) / 2 * -2

x = (-12 ±√(144 - (-96)) / -4

x = (-12 ±√(240) / -4

x1 = (-12 + ~15.49) / -4

x1 = ~3.49 / -4

x1 = ~-.8725

x2 = (-12 - ~15.49) / -4

x2 = ~-27.49 / -4

x2 = ~6.8725


Eftersom det första svaret är negativt vet vi att det inte stämmer, pga. att sträckan är positiv. Därmed är x ungefär lika med 6.87 meter.



Uppg. 4: "Evariste bought n oranges for 70p. Later he bought (n+1) apples for 60p. Each orange costs 4p more than each apple. Find n."


Svar: (stort tack till stunning storm (#20) på denna!)


xn = 70 där x representerar styckepriset


(x - 4)(n + 1) = 60

xn + x - 4n - 4 = 60

70 + x - 4n - 4 = 60

66 + x - 4n = 60

x - 4n = -6

x = 4n - 6


Sätter man då in x in det tidigare uttrycket (xn = 70) får man:

n(4n - 6) = 70, vilket ger

4n^2 - 6n = 70

4n^2 - 6n - 70 = 0

n^2 - 1.5n - 17.5 = 0


Använd sedan PQ-formeln för att lösa ut n:

n = -(-1.5/2) ±√((-1.5/2)^2 - (-17.5))

n = 0.75 ±√(2.25/4 + 17.5)

n = 0.75 ±√(18.0625)

n = 0.75 ± 4.25

n1 = -3.5

n2 = 5


Eftersom n inte kan vara negativt är n lika med 5 och inte -3.5.


Kontroll:

xn = 70, sätt in värdet av n:

5x = 70, dividera båda sidorna med 5

x = 14


(x - 4)(n + 1) = 60, sätt in nyfunna x och du får

(14 - 4)(5 + 1) = 60, vilket ger

10 * 6 = 60

60 = 60



Uppg. 5: "Solve the equations:

a) 3 √(x - 1) = 1 + x

b) 2 √(2x - 1) = √(x-1) + 4

c) √(x^2 - x + 1) = 3 - x

d) x - 6 = √(x^2 - 2x)"



Uppg. 6: "One day Bill and Bob started running the 15 km track at the same time. If Bill always runs 2 km/h faster than Bob, and arrived 10 minutes before Bob, what was Bill's running speed?"



Uppg. 7: "Two manufacturers make 'elevator shoes' for disco dancing of different quality and the higher quality shoes sells for £8 more then the others. As a shopkeeper, if you bought the cheaper type you would get five more pairs for £240. What are the prices of the two shoe types?"


Tacksam för all hjälp som kan ges.


Uppdatering: jag håller på att lösa uppgifterna nu med hjälp av det samot och stunning storm (#20) gav mig. Jag kommer att uppdatera tråden med svar (under respektive upppgift). Jag blev precis klar med uppgift 4.